Dimensie

(het begrip dimensie)

Dit stukje over dimensie en dimensies is een reactie van Rik Min op een stukje van 'Barnas' in het Cultureel Supplement van NRC Handelsblad van vrijdag 16 juli 2010.

Barnas geeft er in zijn/haar stukje in de NRC blijk van het probleem dat er meer dan 3 dimensies kunnen zijn, niet goed op zijn middelbare school begrepen te hebben. Of het werd niet goed uitgelegd. Ik vind het leuk hier eens op in te gaan. Want er zijn meer mensen die er een probleem mee hebben, terwijl het zo leuk en nuttig is het eens van de oplossingskant te zien.

Je wilt de wereld beschrijven. De hele wereld bestaat uit grootheden. Die wil je allemaal zichtbaar maken. Niet alleen de x-richting van een object of de x-positie die een object inneemt op aarde, maar ook zijn temperatuur of gewicht zijn grootheden. Een mens heeft volgens psychologen wel 100 grootheden, 100 dimensies. Men spreekt in die kringen wel van 'de meerdimensionale mens'. Kortom het begrip dimensie is onlosmakelijk verbonden met alle grootheden die er maar zijn, en dus eigenlijk helemaal niet beperkt tot een begrip als x-as, y-as en/of z-as om een blok te beschrijven. Je kunt in een ruimte met honderden dimensies ook een mens beschrijven. Je kunt in een meerdimensionale 'ruimte' namelijk iets mooi gevisualiseerd 'neerzetten'. Je krijgt dan een sterdiagram. (Zie verderop.)

Een dimensie is nuttig voor een grootheid die, om er een voorstelling van te geven, uitgezet wordt langs een rechte lijn met daarop een schaalverdeling. Niets meer en niets minder. Bij de meeste mensen is op de middelbare school het begrip dimensie echter 'blijven steken' bij drie rechte lijnen onder een hoek van 90 graden waar centimeters langs staan en getalletjes. Zie figuur 1.


Figuur 1. Een dimensie, een as met getallen.

Als je drie lijnen neemt voor drie dimensies kun je op die lijnen de waarde die de dimensie heeft aankruisen. Dan weet de kijker onmiddellijk de grootte van de grootheden die je bedoelt. Zie figuur 2.


Figuur 2. Drie dimensies. Meestal wordt dit een drie dimensionale ruimte genoemd.

Als je je beperkt tot de 3 meest bekende dimensies 'x', 'y' en 'z', kun je met deze dimensies een kubus heel mooi visualiseren. Want het komt overeen met je (normale) voorstellingsvermogen. Zie figuur 3. Maar het hoeft niet op deze manier. Er zijn andere manieren.


Figuur 3. Een kubus.

Je kunt een kubus ook anders visualiseren. Zet de maximale waarde in x-richting, y-richting en z-richting op de x-as, de y-as en de z-as, dan zie je met een beetje oefenen ook een kubus. Dat noemen we een object met drie dimensies in sterdiagram zetten. Dat laat figuur 4 zien.


Figuur 4. Een kubus in een sterdiagram notatiewijze

Als je alleen de lengte (x), de hoogte (y) en de breedte (z) van de kubus op deze drie assen neerzet, is de kubus ook helemaal bepaald. Je hoeft niet perse een 1 op 1 voorstelling te hebben. Een geoefend oog ziet hier ook in een oogopslag wat je bedoelt. De kubus is hier niet als zichtbare kubus weergegeven, maar wordt hier weergegeven in een (drie-)dimensionaal sterdiagram. Dat is een wat andere soort voorstelling van een object. Op die manier kun je objecten die veel grootheden hebben visualiseren in een meerdimensionale ruimte. Een object met 6 grootheden - bijvoorbeeld - in 6 dimensies. Zie figuur 5.


Figuur 5. Een 6-dimensionale 'ruimte'.

Een voorbeeld van een object met 24 grootheden, waarvan de actuele waarde van de grootheden met betrekking tot deze 24 dimensies, is te zien in figuur 6.


Figuur 6. Een voorbeeld van 'een ruimte' met 24 dimensies. Op elke as is een grootheid vast te leggen.

Figuur 6 laat een systeem zien ('een ruimte') met een groot aantal dimensies. Hier 24 dimensies. Op elke as is een grootheid vast te leggen. Er is geen limiet voor het aantal dimensies. Zelfs de tijd kun je zien als een 'gewone' dimensie.


Figuur 7. Een meer-dimensionale ruimte waarbij x, y en z ook inbegrepen zijn. Dat geldt ook voor de tijd (t).

Figuur 7 laat een meerdimensionale ruimte zien waarbij x, y en z ook inbegrepen zijn. Ook de tijd (t) is in figuur 7 een gewone dimensie. Op die dimensie t is de actuele tijd van het moment aangegeven waarop alle andere grootheden op de assen vastgelegd zijn. Zo een afbeelding van een object is dus altijd een momentopname. Objecten kunnen dus eenvoudige ruimtelijke objecten zijn zoals een kubus, een bal of een huis, maar objecten kunnen ook personen zijn met een zeker gewicht, een leeftijd en een bepaalde hartslag. Als alle punten verbonden worden heb je een sterdiagram. In dit sterdiagram is de algehele situatie, waarin een object zich verkeerd, opgeslagen en af te lezen. Een voorbeeld is te zien in figuur 8.


Figuur 8. Een voorbeeld van een sterdiagram met een aantal grootheden die een beplaalde waarde hebben op een zeker moment en die zijn 'vastgelegd' op een schaal. De tijd 't' is hier '5'.

Figuur 8 is een voorbeeld van een sterdiagram met een aantal grootheden die een bepaalde waarde hebben op een zeker moment. Het moment is 'vastgelegd' op de assen. De tijd 't' is hier '5'. Dat kan - bijvoorbeeld - 5 jaar oud betekenen. Dat is maar wat je afspreekt. De waarden op de x-as, de y-as en de z-as is de positie van deze persoon op de wereld, in de ruimte, op een zeker moment. Dat kan dan - bijvoorbeeld - zijn of haar geboortejaar plus 5 zijn. Dat is een kwestie van afspreken. Als je een serie sterdiagrammen achter elkaar legt kun je een object in de tijd volgen. Dat is te zien in de laatste figuur, figuur 9.


Figuur 9. Een object wordt een paar keer afgebeeld 'in de tijd'.

Figuur 9 spreekt voor zich. Een object wordt een paar keer afgebeeld 'in de tijd' zoals dat heet. Waarmee als het ware aangetoond is dat de tijd een buitengewone dimensie lijkt, maar toch niet is. Want je kunt de tijd ook in een gewoon assenstelsel opnemen zoals in figuur 5 waar de tweede as bijvoorbeeld de tijd is. In figuur 7 is de vijfde as de tijd. Elke grootheid kan een andere waarde hebben. Als voorbeeld kun je danken aan een satelliet in de ruimte. Alle grootheden als variabelen en parameters, als temperatuur, energieverbruik, stand, positie (x, y en z), etc. kunnen doorgeseind worden naar de aarde.

Conclusie

Een meerdimensionale ruimte is dus heel handig om in een klap alles over een object, een persoon, een satelliet of een fabriek te weten en/of te overzien. Maar niet alleen dat, je kunt een object ook op papier als serie figuurtjes in de tijd volgen. Maar ook grafisch, in grafieken. Daarmee is aangetoond dat - als je dat, zoals hierboven in figuur 5 en 7 afspreekt - je ‘de tijd’ ook als een gewone dimensie kunt zien. Q.e.d.

Belangrijke referenties in dit verband (interactief en online):

  • Online: Het simulatieprogramma Krachtenveld (pre-prototype van de losse applicatie)

  • Online: Het simulatieprogramma Krachtenveld (pre-prototype van de applicatie met uitleg)

  • Online: Het begrip 'Identiteit'

Enschede, 5 aug. 2010. Updated 10 aug. 2010.