Fig. 1. Representatiewijze in de vorm van een black box. Wat je nodig hebt voor een simulatie is een wiskundig model. Dit wiskundig model beschrijft het fenomeen. Dat fenomeen wil je om zetten tot digitaal leermiddel. Een dergelijk wiskundig model heeft variabelen en parameters. Hier verder meestal aangeduidt met x, y en z; resp. a, b en c; Dit model kun je (en moet je hier) verder als een black box opvatten. De input situeren we altijd links; de output altijd rechts. Het model bestaat (binnenin) uit een (groot) aantal mathematische bewerkingsregels. Het model kent verder ook nog constanten, toestandsvariabelen en hulpvariabelen, etc. (Zie elders: bijvoorbeeld Min en Vos, 1998.) Een dynamisch wiskundig model bevat altijd minstens een integraalvergelijking. Deze vergelijkingen starten altijd met een bepaalde waarde, t.w. de startwaarden. De startwaarden van de variabelen worden meestal boven op de black box aangegeven. Het zijn hier x(0), y(0) en z(0). De default waarden van de parameters en de constanten kunnen ook boven op de black box worden aangegeven. Soms situeert men dezen ook wel aan de onderkant (bijv. Tmin en Tmax).
Fig. 2. Een voorbeeld, het model AXON als black box (Hodgkin & Huxley). Hier zie je de variabelen (BN, BM, ... N, M, HA en V) rechts en de parameters (SD1, SD2, ... SA1 en SA2) en constanten (80 en 18) links. De startwaarden staan aan de bovenkant: N(0)=?, M(0)=?, HA(0)=? en V(0)=0.
Fig. 3. Een voorbeeld, het model TRANSISTOR als iets uitgebreidere black box. Hier zie je twee aparte black boxen in een: de eigenlijke transistor (met de output variabelen Re, R1 en uo) en een pulsgenerator (met de output variabele ui).
Fig. 4. Een voorbeeld, het model AXON in de wiskundige vorm. Het bestaat uit 15 vergelijkingen. Hierin zijn - als je goed kijkt - vier integraal vergelijkingen te zien. Dat zijn: N=N+d...*dt; M=M+d...*dt; HA=HA+d...*dt en V=V+d...*dt. Er zijn dus vier startwaarden.
Fig. 5. Representatiewijze 1. Hier zie je een eenvoudig model van een stuiterende bal. Daarnaast zie je een tweede representatiewijze: een stelsel (eerste orde) differentiaal vergelijkingen. Eén vergelijking met betrekking tot y (de hoogte) en één vergelijking met betrekking tot x (de snelheid).
Fig. 6. Representatiewijze 2. Hier zie je een eenvoudig model in de vorm van een (in principe onbeperkt) aantal eerste orde differentiaal vergelijkingen. Een vergelijking met betrekking tot y en een vergelijking met betrekking tot x. Het rechter deel van de twee differntiaal vergelijkingen noemen we het rechter lid. Het rechterlid dien je hier altijd als één geheel (als een soort black box) te beschouwen. Deze 'rechter leden' spelen een grote rol om jouw model van de ene vorm in de andere vorm om te kunnen zetten.
Fig. 7. Representatiewijze 3. Hier zie je een model in de vorm van een stelsel integraal vergelijkingen. Je ziet hier twee 'rechter leden' die als een geheel zijn beschouwd en de integrand zijn binnen de integralen. Let op: De integrand f(..) is in werkelijkheid : f(..)*dt.
Fig. 8. Representatiewijze 4. Hier ziet je een model in de vorm van een 'analoog schema'. Je ziet twee 'integratoren', dat zijn speciale 'blokken' in een 'analoge schema' die een ingangsvariabele (in de tijd) kan integreren (in de tijd). Er zijn ook 'vermenigvuldigers', 'optellers' en 'delers'. (Zie Min, 1986.) In de figuur zie je aan de ingang dat de 'rechter leden' van de differentiaal vergelijkingen (van representatievorm 2) als een geheel worden beschouwd, en als input gebruikt wordt door de twee integrators.
Fig. 9. Hier zie je dat de variabele x ergens anders als output te zien is en dus 'berekend' wordt en daar dan ook vandaan gehaald kan worden. Dat is hier met een witte verbinding aangegeven.
Fig. 10. Je kan nu ook de rest 'tekenen'. Gebruik daarvoor 'optellers', 'vermenigvuldigers' en 'delers' (Min, 1986). Teken tenslotte ook alle verbindingen. als de rechter leden allemaal getekend zijn dien je te beseffen dat aan de ingang van de integratoren feitelijk dx/dt en de dy/dt staat.
Fig. 11. Hier zie dx/dt en dy/dt keurig aan de ingang van de 'x-integrator' resp. de 'y-integrator' aangegeven.
Fig. 12. Representatiewijze 5. Hier zie je hoe een wiskundig model in een hogere programmeertaal kan worden geschreven. Je ziet een serie assign-statements. De 'nieuwe' waarde van de variabelen x en y kunnen nu worden berekend uit de 'oude' waarden van dx/dt en dy/dt. Bij elke iteratie worden de 'oude' waarden van dx/dt en dy/dt gebruikt voor de 'nieuwe' waarden van x en y. De twee rechter leden kunnen steeds gewoon berekend worden. De x en de y niet. Voor een goede berekening van x en y gebruiken we de wetenschappelijke benaderingswijze van Euler. Deze methode van berekenen maakt gebruik van de hellingshoeken dx/dt en dy/dt; en die zijn - zoals zojuist gezegd - eenvoudig te berekenen. Het zijn de rechter leden van het model in de vorm van het stelsel eerste orde differentiaal vergelijkingen. Voila.